Медиана

В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно. Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.

Что такое медиана

Медиана (Me) – значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.

То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина – больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Формула для расчета медианы

Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.

Обратите внимание! Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.

Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:

где: M_e – медиана;

X_me – нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);

i_me – величина медианного интервала;

f – частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);

S_me-1 – сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;

f_me – число значений в медианном интервале (его частота).

Пример нахождения медианы

Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя – 20-40 лет; 18 покупателей – 40-60 лет; 15 покупателей – свыше 60 лет. Найдем медиану.

Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы – 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т.к. полученная полусумма частот – 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей – больше). Тогда нижняя граница медианного интервала – 20 (лет), а величина медианного интервала – 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу – 25. Число значений в медианном интервале – 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).

Медиана -  32,5, следовательно средний возраст покупателя – 33 года.

Область применения медианы

При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» - значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.

Особенности медианы

• Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки.
• Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.

Галяутдинов Р.Р.

 © Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.