18.11.2013   112 069   0  

Транспортная задача - решение методом потенциалов


Транспортная задачаОдна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача. В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами) плана грузоперевозок.

Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требует определенное количество товаров. Также имеется ряд складов поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину.

Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Теоретический материал по транспортной задаче

Транспортная задача (задача Монжа - Канторовича) - математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов) в пункты потребления (например, магазины), с минимальными общими затратами на перевозки.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

Математическая модель транспортной задачи

где: Z - затраты на перевозку грузов;
X - объем груза;
C - стоимость (тариф) перевозки единицы груза;
A - запас поставщика;
B - запрос потребителя;
m - число поставщиков;
n - число потребителей.

Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок.

Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

  1. Построение транспортной таблицы.
  2. Проверка задачи на закрытость.
  3. Составление опорного плана.
  4. Проверка опорного плана на вырожденность.
  5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.
  6. Проверка опорного плана на оптимальность.
  7. Перераспределение поставок.
  8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.
  9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.
  10. Построение графа перевозок.

Подробная инструкция по решению транспортной задачи

1. Построение транспортной таблицы 

Строим таблицу, где указываем запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков (Ai), и потребности заводов (Bj) в этих материалах.

В нижний правый угол ячеек таблицы заносим значение тарифов на перевозку груза (Cij).

Транспортная задача

2. Проверка задачи на закрытость

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B.

Тогда:

Транспортная задача

Транспортная задача называется закрытой, если A = B . Если же A ≠ B , то транспортная задача называется открытой. В случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены. В случае открытой задачи для ее решения придется вводить фиктивных поставщиков или потребителей.

Проверим задачу на закрытость:

A = 10 + 20 + 30 = 60

B = 15 + 20 + 25 = 60

A = B, следовательно данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана 

Составляет предварительный (опорный) план перевозок. Он не обязательно должен быть оптимальный. Это просто своеобразный «черновик»,  «набросок», улучшая который мы постепенно придем к плану оптимальному.

Есть разные методы нахождения опорного плана. Наиболее распространены следующие:

а) Метод Северо-Западного угла.

Суть метода проста - ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо. То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка ("северо-западная" ячейка), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь.

б) Метод минимального элемента.

Метод заключается в том, что для заполнения ячеек транспортной таблицы выбирается клетка с минимальным значением тарифа. Затем выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом и так продолжается до тех пор, пока таблица не будет заполнена (все запасы и потребности при этом обнулятся).
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

в) Аппроксимация Фогеля.

Основа метода в нахождении разности (по модулю) между парой минимальных тарифов в каждой строке и столбце. Затем в строке или столбце с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Затем все эти действия повторяются заново, только при этом уже не учитываются заполненные клетки.
Подробное описание аппроксимации Фогеля и пример можно посмотреть онлайн

г) Метод двойного предпочтения.
Суть метода в том, что отмечаются клетки с наименьшим тарифом по строкам, а затем по столбцам. Затем ячейки заполняются в следующей очередности: сначала клетки с двумя отметками, потом с одной, наконец без отметок.
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

4. Проверка опорного плана на вырожденность

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными, а остальные (пустые) - свободными.

План называется вырожденным, если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1. Если во время решения задачи получился вырожденный план, то его необходимо пополнить, проставив в недостающем числе клеток нулевую перевозку и превратив, тем самым, эти клетки в базисные (общий баланс и суммарная стоимость перевозок плана при этом не изменятся). Однако проводить пополнение плана, выбирая клетки произвольно, нельзя. План должен быть ациклическим!

План называется ациклическим, если его базисные клетки не содержат циклов. Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией так, чтобы две соседние вершины ломаной были расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Ниже приведен пример цикла:

Транспортная задача - пример цикла

Ломаная линия может иметь точки самопересечения, но не в клетках цикла.


Кол-во базисных клеток = 5

m + n – 1  = 3 + 3 – 1 = 5

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки 

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов. Есть другие методы итерационного улучшения плана перевозок, но здесь мы их рассматривать не будем.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Ui + Vj = Cij

Добавим к транспортной таблице дополнительную строку и столбец для Ui и Vj.

Транспортная задача

Предположим, что U1 = 0.

Транспортная задача

Тогда мы сможем найти V3 = C13 – U1 = 1 – 0 = 1.

Транспортная задача

Зная V3, мы теперь можем найти U3:

Транспортная задача

По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы:

Транспортная задача

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов 

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj )

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

Транспортная задача

План является оптимальным, если все разности ΔCij ≥ 0.

В данном случае план – неоптимальный (ΔC22 < 0), и его следует улучшить путем перераспределения поставок.

7. Перераспределение поставок 

Найдем ячейку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью ΔCij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен.

Транспортная задача

Отметим ячейку с отрицательной разностью ΔCij знаком «+», следующую знаком «-», и так далее, поочередно.

Затем находим минимальной значение груза в ячейках цикла имеющих знак «-» (здесь это 5) и вписываем его в свободную ячейку со знаком «+». Затем последовательно обходим все ячейки цикла, поочередно вычитая и прибавляя к ним минимальное значение (в соответствии со знаками, которыми эти ячейки помечены: где минус - вычитаем, где плюс - прибавляем).

Транспортная задача

Получим новый опорный план перевозок:

Транспортная задача

Так как базисных клеток стало больше, чем m + n – 1, то базисную клетку с нулевым значением делаем свободной:

Транспортная задача

Снова вычисляем значения потенциалов и разности ΔCij:

Транспортная задача

На этот раз все разности ΔCij ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5. 

У нас оптимальное решение найдено, поэтому переходим к пункту 9.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза

Вычислим общие затраты на перевозку груза (Z), соответствующие найденному нами оптимальному плану, по формуле:

Транспортная задача

Zmin = 10 ∙ 1 + 15 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 15 ∙ 1 + 15 ∙ 2 = 110 ден. ед.


Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 110 ден. ед.

10. Построение графа перевозок 

Найдя оптимальный план перевозок, построим граф. Вершинами графа будут «склады» и «магазины». В вершинах укажем соответствующие объемы запасов и потребностей. Дугам, соединяющим вершины графа, будут соответствовать ненулевые перевозки. Каждую такую дугу подпишем, указав объем перевозимого груза.

В результате получится граф, аналогичный изображенному ниже:

Транспортная задача

Все, транспортная задача решена. Поздравляю!

Практическое применение транспортной задачи

Транспортная задача применяется во многих случаях. Это оптимизация поставок сырья и материалов на производственные предприятия. Это оптимизация доставок товаров со складов в розничные магазины. Это оптимизация пассажирских перевозок, и много-многое другое.

Галяутдинов Р.Р.


 © Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.


Орфография

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl+Enter.

Цитирование

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Транспортная задача - решение методом потенциалов // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: http://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha (дата обращения: 26.07.2017).

Еще можно почитать:

 
 
   
Формулы ФОРМУЛЫ
Термины ТЕРМИНЫ
Бухучет БУХУЧЕТ
Налоги НАЛОГИ
Статистика СТАТИСТИКА
Биографии БИОГРАФИИ
Задачи ЗАДАЧИ
ENGLISH
  Галяутдинов Руслан Рамилевич

ГАЛЯУТДИНОВ
Руслан Рамилевич

старший преподаватель экономических дисциплин (маркетинг, логистика, рынок ценных бумаг)... подробнее

Почта
 
 
 
Курсы валют ЦБ РФ
СейчасБудет
Курс доллара0.000.00
Курс евро0.000.00
Товарные рынки
BIDASK
Золото0.000.00
Серебро0.000.00
Платина0.000.00
Нефть Brent0.000.00
  Обзорные лекции к ГОСам по специальности 'Экономика и управление на предприятии' Решение задачи коммивояжера онлайн